%latex2e declaration
\documentclass[12pt]{article}
\usepackage[cp862]{inputenc}
\usepackage[hebrew]{babel}
\usepackage{tcourse}

\newcommand{\fiber}{\ast}
\newcommand{\capacity}{{\sf c}}
\newcommand{\period}{{\sf p}}

\begin{document}
\sethebrew
\courseSlogan{ЧЙГЕГ БОТШЛЕЪ АЙЗСЕП ОЙГТ - АБЙБ ЪЩС''А}
\exerciseNumberAndDate{1}{18/4/2001}

\ques{} ЙДЙЕ $G_1, G_2$ ЩРЙ ВШФЙН ЕЙДЙ $G_1 \fiber G_2$ ВШУ ОЛФМЪ ДЪЕЕЙЕЪ ЩМ $G_1$ Е-$G_2$.\ ДЕЛЗ ЛЙ
\[.S(G_1 \fiber  G_2) = S(G_1) \cap S(G_2)\]
\ques{} ЙДЙ $G=(V,E,L)$
ЛЙСЕЙ \L{Shannon} ЩМ ЩФД АЙ-ФШЙЧД $S=S(G)$ ЕЙДЙ $H$ ДВШУ ДОЪЧБМ ОДЩОИЪ
ДЦОЪЙН ОДЦЕШД $(v,v)$, $v \in V$, ОВШУ ОЛФМЪ ДЪЕЕЙЕЪ $G*G$.
\begin{enumerate}
\item ДЕЛЗ ЛЙ АН $S$ ДЙРД БТМЪ ЖЙЛШЕП СЕФЙ, ЛЙ АЖ
ДЖЙЛШЕП ЩМ $S$ ЩЕЕД МЖЙЛШЕП ЩМ $G$.
\item ДЕЛЗ ЛЙ $S$ ДЙРД БТМЪ ЖЙЛШЕП СЕФЙ АН ЕШЧ АН $H$ АЙРРЕ ОЛЙМ ОТВМЙН.
\item ДЕЛЗ ЛЙ АН $S$ ДЙРД БТМЪ ЖЙЛШЕП СЕФЙ, ЛЙ АЖ ЖЛШЕП ЖД ЗСЕН ОМОТМД ТМ-ЙГЙ
$|V|(|V|-1)/2$.
\item РСЗ АМВЕШЙЪН ЙТЙМ МОЦЙАЪ ДЖЙЛШЕП ЩМ $S=S(G)$.
\end{enumerate}

\ques{} ЙДЙ $G=(V,E,L)$ ВШУ ЕЪДЙ $S=S(G)$ ДЩФД ДОЙЕЦШЪ ТМ-ЙГЙ $G$.
ДЕЛЗ,
ОДВГШЪ ДЧЙБЕМ, ЛЙ МЛМ $l$ ИБТЙ, \[.\capacity(S^l) = l\cdot \capacity(S)\]
{\bf ДГШЛД}: ДЩЪОЩ БЩМГ ДЕЛЗД МДМП )ТМЙК МРОЧ РЛЕРЕЪ ЩМ ЛМ ЦТГ БДЕЛЗД(:

\noindent
ЙДЙ $\Sigma$ ДА''Б ЩМ $S$ ЕЪДЙ $S_0 = S(G_0)$ ДЩФД ДОЙЕЦШЪ Т''Й ШЛЙБ АЙ-ФШЙЧ
$G_0$ ЩМ $G$ АЩШ ОЧЙЙОЪ $\capacity(S) = \capacity(S_0)$ )ОГЕТ $S_0$ ЛЖАЪ ЧЙЙОЪ?(.
\newpage
\noindent
ЪДЙ $\ell_1 < \ell_2 < \cdots <  \ell_i < \cdots$ СГШЪ АЕШЛЙН АЩШ ОЧЙЙОЙН
\begin{equation}
\lim_{i \rightarrow \infty}
\frac{1}{\ell_i} \log_2 |S_0 \cap \Sigma^{\ell_i}| = \capacity(S_0)
\end{equation}
)ОГЕТ СГШД ЛЖАЪ ЧЙЙОЪ?(. РВГЙШ  $m_i = \lceil \ell_i/\ell \rceil$. ОЪЧЙЙН
\begin{eqnarray}
\label{eq:sfirst}
\capacity(S^\ell) & \ge & \capacity(S_0^\ell) \\
                  & \ge & \limsup_{i \rightarrow \infty}
		          \frac{1}{m_i}
                          \log_2 |S_0 \cap \Sigma^{m_i \ell}| \\
                  & \ge & \limsup_{i \rightarrow \infty}
		          \frac{1}{m_i}
                          \log_2 |S_0 \cap \Sigma^{\ell_i}| \\
                  & \ge & \ell \cdot \lim_{i \rightarrow \infty}
                          \frac{\ell_i}{m_i \ell}
			  \lim_{i \rightarrow \infty}
		          \frac{1}{\ell_i}
                               \log_2 |S_0 \cap \Sigma^{\ell_i}|\\
                  & =   &  \ell \cdot \capacity(S_0) \\
\label{eq:slast}
%                  & =   &  \ell \cdot \capacity(S) \; .
                  & =  &  \ell \cdot \capacity(S) \;
\end{eqnarray}
)РОЧ ЦТГЙН~\L{(\ref{eq:sfirst})--(\ref{eq:slast})}. ДЙЛП БДЕЛЗД ОЩЪОЩЙН БТЕБГД
Щ-$S_0$ АЙ-ФШЙЧД?(.
\ques{} ЙДЙ $G$
ВШУ АЙ-ФШЙЧ МА ИШЙЕЕЙАМЙ БТМ ОЗЖЕШ $\period$.
ДЕЛЗ ЛЙ ДВШУ $G^\period$ ОЕШЛБ О-$\period$
ШЛЙБЙН АЙ-ФШЙЧЙН ЩЛЕМН ФШЙОЙИЙБЙЙН ЕОБЕГГЙН ЖД ОЖД.

\ques{} ЙДЙ $G$ ВШУ
АЙ-ФШЙЧ МА ИШЙЕЕЙАМЙ БТМ ОЗЖЕШ $\period$ ЕЙДЙ $v$ ЦЕОЪ Б-$G$. ДШАД ЛЙ $\period$ ДЙРЕ
ДОЗМЧ ДОЩЕЪУ ДВГЕМ БЙЕЪШ ЩМ АЕШЛЙ ДОТВМЙН )ДМАЕ-ГЕЕЧА ФЩЕИЙН( Б-$G$ ДТЕБШЙН
ГШК $v$.

\ques{} ЙДЙ $G$ ВШУ АЙ-ФШЙЧ МА ИШЙЕЕЙАМЙ БТМ ОЗЖЕШ $\period$, ЕЙДЙЕ
$G_1, G_2, \ldots, G_\period$ ДШЛЙБЙН ДАЙ-ФШЙЧЙН ЩМ $G^\period$.
ДЕЛЗ ЛЙ МЛМ ШЛЙБ АЙ-ФШЙЧ
$G_i$ ОЪЧЙЙН: \[.\capacity(S(G_i)) = \period\cdot \capacity(S(G)) \]
\goodLuck
\end{document}
